TAREA UNIDAD IV. COMBINATORIA

UNIDAD IV.- COMBINATORIA

EJERCICIOS:

EJERCICIO 1:

A) UN HOMBRE TIENE 5 TRAJES, 8 CAMISAS 7 LAZOS ¿CUÁNTOS EQUIPOS DIFERENTES PUEDE REUNIR?

R= 5*8*7=280 diferentes equipos.

B) UNA MUJER TIENE 6 VESTIDOS, 5 FALDAS Y 3 BLUSAS ¿CUANTOS EQUIPOS DIFERENTES TIENE?

R=5*3=15 combinaciones con faldas y blusas.

R= 15+6=21conbinaciones en total con los vestidos.

C) EL HELADO ESTA DISPONIBLE EN 6 SABORES, PARA EL POSTRE SE PUEDE PONER EN ORDEN DE BOULES, 2 BOULES O 3 BOULES A CUALQUIERA DE LOS DOS.¿ CUANTOS POSTRES DIFERENTES SON POSIBLES?

R= 6*6=36 para dos boules.

R= 6*6*6=216 para tres boules.

R=216+36+6=258 diferentes postres.

EJERCICIO 2:

A) UNA CONTRASEÑA DE COMPUTADORA CONSISTE EN 6 CARACTERES LOS PRIMEROS 2 DEBEN SER LETRAS MINUSCULAS Y LAS SIGUIENTES 4 MINUSCULAS. ¿CUANTAS CONTRASEÑAS DIFERENTES SON POSIBLES?

26 letras del alfabeto = 26+26=676 para dos caracteres.

26+10=36 letras y dígitos.

36*36*36*36=1, 676,616 para cuatro caracteres.

R= 676+1, 676,616=1, 135,420.416 diferentes contraseñas.

EJERCICIO 3:

A) DE CUANTAS MANERAS, PUEDA UN PRIMER, SEGUNDO Y TRECER PREMIO EN FLOWER-ARRAINING. SE DE A 17 OPONENTES.

P (17,3)=17!/(17-3)!3!=17/14!3!=17*16*15.

P (17,3)=4,080.

R=4,080.

B) UN COMITÉ DE PERSONAS CON 20 ELECTOS CON 2 SILLAS ¿DE CUANTAS FORMAS PUEDE HACERCE?

P (20,2)=20!/(20-2)!2!=20/18!2!=20*19.

P (20,2)=380.

R=380.

C) UNA CONTRASEÑA DE COMPUTADORA ESCOJIDA DEL EJERCICIO 2 ¿CUANTAS CONTRASEÑAS QUE ESTAN ALLÍ QUE NO CONTIENEN NINGUN CARÁCTER REPETIDO?

P (26,2)=26!/(26-2)!2!=20/24!2!=26*25.

P (20,2)=650.

R=650 para los primeros dos caracteres.

P (36,4)=36!/(36-4)!4!=36/32!2!=36*35*34*33.

P (20,2)=1,413,720.

R= 1,413,720 para los siguientes cuatro caracteres.

P (26,2)* P (20,2)=650+1,413,720=918,918,000.

R= 918,918,000 diferentes contraseñas y no existe contraseña repetida.

EJERCICIO 4:

A) UNA ESCUADRA DE HOCKEY TIENE 18 JUGADORES; 11 JUGADORES HACEN UN EQUIPO ¿CUANTOS EQUIPOS DIFERENTES SON POSIBLES?

C (18,11)=18!/(18-11)!11!=18/7!11!=18*17*16*15*14*13*12*11*10*9*8/11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1.

C (18,11)=1, 270,312.243/39, 916,800.

R=31,824 diferentes equipos posibles.

B) UN JUGADOR DE 5 MUJERES Y 7 HOMBRES SERAN SELECCIONADOS EN UN TABLERO DE 8 MUJERES Y 11 HOMBRES ¿CUANTOS JURADOS DIFERENTES SON POSIBLES?

C (8,5)=8!/(8-5)!5!=8/3!5!=8*7*6*5*4/5*4*3*2*1.

C (8,5)=6,720/120.

R= 56 jurados mujeres.

C (11,7)=11!/(11-7)!7!=11/4!7!=11*10*9*8*7*6*5/7*6*5*4*3*2*1.

C (11,7)=1,663,200/5,040.

R=330 jurados hombres.

C (8,5)* C (11,7)=56*330=18,480.

R= 18,480 diferentes posibles jurados.

C) UN EQUIPO DE JUGADORES DE GOLF SERAN SELECCIONADOS DE 5 PROFESIONALES Y 5 JUGADORES AFICIONADOS. ¿CUANTOS CONSISTEN EN TRES JUGADORES Y UN JUGADORES AFICIONADOS? ¿CUANTOS EQUPIOS CONSISTEN SOLAMENTE EN PROFESIONALES Y JUGADORES AFICIONADOS?

C (5,3)=5!/(5-3)!3!=5/2!3!=5*4*3/3*2*1.

C (5,3)=60/6.

C (5,3)=10

R=10 consisten en tres jugadores

C (5,1)=5!/(5-1)!1!=5/4!1!=5/1.

C (5,1)=5/1.

C (5,1)=5

R=5 consisten en un jugador aficionado.

C (5,3)* C (5,1)=10*5=50

R= 50 posibles equipos.

EJERCICIO 5:

UN COMITÉ SELECTO DE  3 MPs SERA FORMADO DE 5 LIBERALES CONSERVADORES Y 4 MIENBROS DEL DEMOCRATA LIBERAL.

A) ¿DE CUANTAS MANERAS PUEDE FORMARSE EL COMITÉ? 220

B) ¿DE CUANTAS MANERAS PUEDE FORMARSE EL COMITÉ SI POR LO MENOS SE DEBE INCLUIR A UN DEMOCRATA LIBERAL? 164

C) ¿DE CUANTAS MANERAS PUEDE FORMARSE EL COMITÉ SI NO SE DEBE INCLUIR A AMBOS Y A LOS MIEMBROS CONSERVADORES? 115

D) DE CUANTAS MANERAS PUEDE FORMARSE EL COMITÉ SI DEBO INCLUIR POR LO MENOS A UN MIEMBRO CONSERVADOR LIBERAL? 105

A)3*4=12

C (12,3)=12!/(11-3)!3!=12/9!3!=12*11*10/3*2*1.

C (12,3)=1,320/6.

C (12,3)=220

R=220 maneras de formar el comité.

B) 4+4=8

C (8,3)=8!/(8-3)!3!=8/5!3!=8*7*6/3*2*1.

C (8,3)=336/6.

C (8,3)=56

R= 220-56=164 posibles comités que contendrán por lo menos a un demócrata liberal.

C)8+1=9

C (9,3)=9!/(9-3)!3!=9/6!3!=9*8*7/3*2*1.

C (9,3)=504/6.

C (9,3)=84.

R= 84 posibilidades si el comité no contiene miembros liberales.

8-1=7

C (7,3)=7!/(7-3)!3!=7/4!3!=7*6*5/3*2*1.

C (7,3)=210/6.

C (7,3)=35

R=35 posibilidades si el comité no contiene miembros conservadores.

C (9,3)* C (7,3)=84+35=119

R=119 posibilidades.

C (4,3)=4!/(4-3)!3!=4/1!3!=4*3*2/3*2*1.

C (4,3)=24/6.

C (4,3)=4

R=4  comités que contengan solamente a demócratas liberales.

RT=119-4=115 comités de cada equipo requerido.

D) C (5,2)=5!/(5-2)!2!=5/3!2!=5*4/3*2.      

C (5,2)=20/6.

C (5,2)=10

C (3,1)=3!/(3-1)!1!=3/2!1!=3/1.

C (3,1)=3/1.

C (3,1)=3.

C (5,2)* C (3,1)=10*3=30

R=30 comités que contendrán a dos conservadores y un miembro liberal

C (5,1)=5!/(5-1)!1!=5/4!1!=5/1.      

C (5,1)=5/1.

C (5,1)=5

C (3,2)=3!/(3-2)!2!=3/1!2!=3*2/2*1.      

C (3,2)=6/2.

C (3,2)=3.

C (5,1)* C (3,2)=5*3=15

R=15 comités que consisten en un conservador y dos miembros liberales.

C (5,1)*C (5,4)*C (4,1)

C (5,1)=5

C (3,1)=3

C (4,1)=4

C (5,1)*C (3,1)*C (4,1)=5*3*4=60

R=60 consistirá de un miembro de cada partido.

En total:

C (5,2)*C (3,1)=30

C (5,1)*C (3,2)=15

C (5,1)*C (3,1*C (4,1)=60.

C (5,2)+C (3,1)+C (5,1)+C (3,2)+C (5,1)+ C(3,1)+ C (4,1)=105 posibilidades.

EJERCICIO 6:

UNA COMPAÑÍA PEQUEÑA EMPLEA A 8 PERSONAS EN LA SECCION INDUSTRIAL, 5 EN LA SECCION DEL MERCADO Y 3 EN LA SECCION DE CONTABILIDAD.EN EL PROYECTO DE UN NUEVO PRODUCTO SE FORMARA UN EQUIPO DE 6 PERSONAS. DE CUANTAS MANERAS PUEDE FORMARSE EL EQUIPO SI:

A) HAY DOS REPRESENTATES PARA CADA SECCCION. 840

B) HAY DOS MIEMBROS POR LO MENOS DE LA SECCION INDUSTRIAL. 7,532

C) HAY REPRESENTANTES PARA SER DE LAS TRES SECCIONES. 5,830

A) C (8,2)=8!/(8-2)!2!=8/6!2!=8*7/2*1.      

C (8,2)=56/2.

C (8,2)=28.

C (5,2)=5!/(5-2)!2!=5/3!2!=5*4/2*1.      

C (3,2)=20/2.

C (3,2)=10.

C (3,2)=3!/(3-2)!2!=3/1!2!=3*2/2*1.      

C (3,2)=6/2.

C (3,2)=3.

C (8,2)* C (5,2)* C (3,2)=28*10*3=840

R=840 equipos con dos representantes de cada departamento.

B) C (8,6)=8!/(8-6)!6!=8/2!6!=8*7*6*5*4*3/6*5*4*3*2*1.      

C (8,6)=20,160/720.

C (8,6)=28 posibles equipos.

C (8,1)=8!/(8-1)!1!=8/7!1!=8*7/1.      

C (8,1)=56/1.

C (8,1)=56.

C (8,5)=8!/(8-5)!5!=8/3!5!=8*7*6*5*4/5*4*3*2*1.      

C (8,5)=6,720/120.

C (8,5)=56.

R=56+56=112*4=448 posibles equipos.

R= 28+448=476 equipos que contienen menos importancia que dos representantes en la sección industrial.

C (16,6)=16!/(16-6)!2!=16/10!6!=16*15*14*13*12*11/6*5*4*3*2*1.      

C (16,6)=5,765,760/720.

C (16,6)=8008 equipos que se pueden formar sin restricciones.

RT= 8008-476=7,532 equipos requeridos de cada tipo.

C) C (8,6)=8!/(8-6)!6!=8/2!6!=8*7*6*5*4*3/6*5*4*3*2*1.      

C (8,6)=20,160/720.

C (8,6)=28posibles equipos.

C (13,6)=13!/(13-6)!6!=13/7!6!=13*12*11*10*9*8/6*5*4*3*2*1.      

C (13,6)=1,235,520/720.

C (13,6)=1,716 posibles equipos que se pueden formar exactamente para dos departamentos, industrial y mercado.

R= 1,716-28=1,668 para el área industrial y mercado.

C (11,6)=11!/(11-6)!6!=11/5!6!=11*10*9*8*7*6/6*5*4*3*2*1.      

C (11,6)=332,640/720.

C (11,6)=462.

R= 462-28=432 equipos para el área industrial

R= 1,688+434+28= 2,150 equipos para las dos secciones.

R=2,150+28=2,178 equipos con un departamento.

 RT= 8008-2,178= 5,830 equipos formados para las tres secciones.

EJERCICIO 7:

A) UN RESTAURANTE OFRECE 5 DIFERENTES PLATOS FUERTES EN SU MENÚ EN UNA FIESTA DE 6 PERSONAS CADA ORDEN DE PLATO FUERTE. ¿DE CUANTAS MANERAS SE PUEDEN HACER LOS PEDIDOS? 210

C (n+k-1,n-1) donde n=5 y k=6

C (5+6-1,5-1)

C (11-1,4)

C (10,4) =10!/(10-4)!4!=10/6!4!=10*9*8*7/4*3*2*1.       

C (10,4)=5,040/24.

C (10,4)=210

R= 210 diferentes pedidos.

B) UN FLORICULTOR ABASTECE LAS ROSAS EN CUATRO COLORES DIFERENTES. ¿CUANTOS RAMILLETES DIFERENTES DE UNA DOCENA DE ROSAS PUEDE HACER? 455

C (n+k-1,n-1) donde n=4 y k=12

C (4+12-1,4-1)

C (16-1,3)

C (15,3) =15!/(15-3)!3!=15/12!3!=15*14*13/3*2*1.      

C (15,3)=2,730/6.

C (15,3)=455

R= 455 diferentes ramilletes.

EJERCICIO 8:

 TU ESTAS COMPRANDO 5 TARJETAS DE NAVIDAD EN UNA TIENDA ¿HAY 4 TIPOS DIFERENTES QUE TE GUSTAN?

A) CUANTAS FORMAS HAY DE COMPRAR CINCO TARJETAS? 56

B) CUANTAS POSIBILIDADES INCLUYEN EXACTAMENTE DOS DE CUATRO TIPOS? 24

A) C (n+k-1,n-1) donde n=4 y k=5

C (4+5-1,4-1)

C (9-1,3)

C (8,3) =8!/(8-3)!3!=8/5!3!=8*7*6/3*2*1.      

C (8,3)=336/6.

C (8,3)=56

R= 56 formas diferentes

B) C (4,2) =4!/(4-2)!2!=4/2!2!=4*3/2*1.      

C (4,2)=12/2.

C (4,2)=6.

C (n+k-1,n-1) donde n=2 y k=5

C (2+5-1,2-1)

C (7-1,1)

C (6,1) =6!/(6-1)!1!=6/5!1!=6/1.      

C (8,3)=6/1.

C (8,3)=6

R= 6*4=24 tarjetas que contienen 2 tipos diferentes.

EJERCICIO 9:

¿CUANTAS DISTINTAS FORMAS DE  PALABRAS EN LA LETRA ABRACADABRA?

A) ¿EMPIEZAN CON LA LETRA C? 83,160

B) ¿TIENEN AMBAS Bs CONJUNTO? 15,120

A) 5 letras A, 2 letras B, 2 letras R,  1 letra C, 1 letra D.

11!/5!2!2!=39,916,800/120*2*2=39,916,800/480=83,160.      

R= 83,160 diferentes rearrangements

11-1=10

10!/5!2!2!=3,628,800/120*2*2=3,628,800/480=7,560.      

R=7,560 rearrangements que comienzan con la letra C.

B) 2=B, 5=A, 11-1=10

10!/5!2=3,628,800/120*2=3,628,800/240=15,120.

R= 15,120 con ambas letras.   

EJERCICIO 10:

DETERMINA EL COEFICIENTE DE xy³z⁴ EN LA EXPRESIÓN DE (x+y+z)^8..

DETERMINA EL COEFICIENTE DE ab²cd EN LA EXPRESIÓN DE (a+b+c+d)^5..

X¹y³z⁴=(x+y+z)⁸

8!/1!3!4=40,320/1*6*24=40,320/144=280.

a¹b²c¹d¹=(a+b+c+d)^5..

5!/1!2!1!1=120/2=60.

Donde a=x, b=2y, c=z,d=-1=(a+b+c+d)^5..

60+60=120*2=240.